已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx（m≠0）截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．

Question

已知直线y=x-4被抛物线y²=2mx（m≠0）截得的弦长为6√(2)，求抛物线的标准方程．

Answer 1

设直线y=x-4与抛物线y²=2mx交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y＝x−4

y2＝2mx

消去y，可得x²-2（4+m）x+16=0，
∴x₁+x₂=2（4+m），x₁x₂=16，
可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4（4+m）²-4×16=4m²+32m，
（y₁-y₂）²=[（x₁-4）-（x₂-4）]²=（x₁-x₂）²=4m²+32m，
因此，|AB|=√((x1−x2)2+(y1−y2)2)=√(2(4m2+32m))=6√(2)，
解之得m=1或-9，可得抛物线的标准方程是y²=2x或y²=-18x．