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已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.
题目详情
已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6
,求抛物线的标准方程.
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▼优质解答
答案和解析
设直线y=x-4与抛物线y2=2mx交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),
由
消去y,可得x2-2(4+m)x+16=0,
∴x1+x2=2(4+m),x1x2=16,
可得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4(4+m)2-4×16=4m2+32m,
(y1-y2)2=[(x1-4)-(x2-4)]2=(x1-x2)2=4m2+32m,
因此,|AB|=
=
=6
,
解之得m=1或-9,可得抛物线的标准方程是y2=2x或y2=-18x.
由
|
∴x1+x2=2(4+m),x1x2=16,
可得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4(4+m)2-4×16=4m2+32m,
(y1-y2)2=[(x1-4)-(x2-4)]2=(x1-x2)2=4m2+32m,
因此,|AB|=
(x1−x2)2+(y1−y2)2 |
2(4m2+32m) |
2 |
解之得m=1或-9,可得抛物线的标准方程是y2=2x或y2=-18x.
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