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求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数.
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求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为正整数.
▼优质解答
答案和解析
x=1是方程的一个根.于是只要考虑二次方程5x2-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可.
设此二正整数根为u、v.则由韦达定理知,
消去p,得5uv-66(u+v)=-1.同乘以5:52uv-5×66u-5×66v=-5.
∴(5u-66)(5v-66)=662-5=4351=19×229.由于u、v均为整数,故5u-66、5v-66为整数.
∴
或
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∴其中使u、v为正整数的,只有u=17,v=59这一组值.此时p=76.
设此二正整数根为u、v.则由韦达定理知,
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消去p,得5uv-66(u+v)=-1.同乘以5:52uv-5×66u-5×66v=-5.
∴(5u-66)(5v-66)=662-5=4351=19×229.由于u、v均为整数,故5u-66、5v-66为整数.
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∴其中使u、v为正整数的,只有u=17,v=59这一组值.此时p=76.
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