已知2^96-1可以被在60-70之间的两个整数整除，则这个整数是多少

Question

已知2^96-1可以被在60-70之间的两个整数整除，则这个整数是多少

Answer 1

因式分解吧。
2^96-1
=(2^48+1)(2^48-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^24-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^24-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^12+1)(2^12-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^12+1)(2^6+1)(2^6-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^12+1)×65×63
因而，63和65满足条件。
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下面证明只有这两个。
首先，2^96-1是奇数，因而不可能被62、64、66、68整除，
只剩下61、67和69需要判断。
下面用同余来判断。
2^96-1（mod 61）
≡(2^6)^16-1
≡64^16-1
≡3^16-1
≡(3^4)^4-1
≡81^4-1
≡20^4-1
≡400^2-1
≡1156-1
≡1155
≡57
因而不是61的倍数。
2^96-1（mod 67）
≡(2^6)^16-1
≡64^16-1
≡(-3)^16-1
≡3^16-1
≡(3^4)^4-1
≡81^4-1
≡14^4-1
≡196^2-1
≡62^2-1
≡(-5)^2-1
≡25-1
≡24
因而不是67的倍数。
2^96-1（mod 69）
≡(2^6)^16-1
≡64^16-1
≡(-5)^16-1
≡5^16-1
≡(5^4)^4-1
≡625^4-1
≡4^4-1
≡16^2-1
≡255
≡48
因而不是69的倍数。
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综上，只有63和65符合条件。
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