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如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．
题目详情
如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°-∠ADC=180°-108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°-∠ADC=180°-108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
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