在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°（1）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2=AD2+BE2（附：将△CEB绕点C旋转使得CB和CA重合）（2）当点D在BA的延长线上时，（1）中的结

Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°
（1）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE²=AD²+BE²（附：将△CEB绕点C旋转使得CB和CA重合）
（2）当点D在BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图，将△CEB绕点C顺时针旋转90°使得CB和CA重合，
由旋转得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE＝CF

∠DCE＝∠DCF

CD＝CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故，DE²=AD²+BE²；

（2）结论DE²=AD²+BE²成立．
证明如下：如图，将△CEB绕点C顺时针旋转90°使得CB和CA重合，
由旋转得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ECF-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE＝CF

∠DCE＝∠DCF

CD＝CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠EAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴∠DAF=180°-∠EAF=180°-90°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故DE²=AD²+BE²．