如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DH垂直平分AB交AC于点E，连接BE、CD，且CD=CE．（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）如图2，点F在AB上，且BF=BC，连接BD，若BD平分∠ABC，试判断DF与AC

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DH垂直平分AB交AC于点E，连接BE、CD，且CD=CE．
（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）如图2，点F在AB上，且BF=BC，连接BD，若BD平分∠ABC，试判断DF与AC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵DH垂直平分AB交AC于点E，
∴AE=BE，∠AHE=∠BHE=90°，
∴∠A=∠ABE，∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠AEH=∠ACB=∠BEH，
∵CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵∠AEH=∠CED，
∴∠D=∠BEH，∠CED=∠ACB，
∴BE∥CD，BC∥ED，
∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）DF⊥AC，
证明：∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC，
∵BC=BF，
∴BF=DE，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠HBD=45°，
∵∠BHD=90°，
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴DH=BH=AH，
∴DH-DE=BH-BF，
∴HE=HF，
在△DHF和△AHE中

DH=AH

∠DHF=∠AHE

HF=HE

∴△DHF≌△AHE，
∴∠A=∠FDH，
∵∠A+∠AEH=90°，∠DEC=∠AEH，
∴∠FDH+∠DEC=90°，
∴∠EGD=180°-90°=90°，
∴DF⊥AC．