（2014•虹口区一模）在△ABC中，∠BAC=90°，∠EAF=90°，AB•AF=AC•AE．（1）求证：△AGC∽△DGB；（2）若点F为CG的中点，AB=3，AC=4，tan∠DBG=12，求DF的长．

Question

（2014•虹口区一模）在△ABC中，∠BAC=90°，∠EAF=90°，AB•AF=AC•AE．
（1）求证：△AGC∽△DGB；
（2）若点F为CG的中点，AB=3，AC=4，tan∠DBG=(1)/(2)，求DF的长．

Answer 1

（1）∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAF+∠GAF=∠CAF+GAF=90°，
∴∠EAB=∠CAF，
∵AB•AF=AC•AE，
∴(AE)/(AF)＝(AB)/(AC)，
∴∠DBG=∠ACF，
∵∠DGB=∠AGC，
∴△AGC∽△DGB；

（2）∵△AGC∽△DGB；
∴∠DBG=∠ACG，△DGB是直角三角形，
∵tan∠DBG=(1)/(2)，
∴tan∠ACG=(1)/(2)，
∵AC=4，
∴AG=2，
∴CG=√(AC2+AG2)=2√(5)，
∵AB=3，
∴BG=AB-AG=1，
∵tan∠DBG=(1)/(2)，
∴DG=(√(5))/(5)，
∴DF=DG+GF=(√(5))/(5)+√(5)=(6√(5))/(5)．