在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-3ax-4a（a<0）．（1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴的交点坐标为C点

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-3ax-4a（a<0）．
（1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴的交点坐标为C点，已知△ABC的面积为7.5，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段BN上的任意一点，过点M作直线MD⊥x轴，交抛物线于点D，记点D关于抛物线对称轴的对称点为E，点P是线段MD上一点，且满足MD=3DP，连结DE，PE，作PF⊥PE交x轴于点F，问是否存在这样的点F，使得PF=PE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）对于抛物线y=ax²-3ax-4a（a<0），
∵△=（-3a）²-4•a•（-4a）=9a²+16a²=25a²，
∵a<0，
∴△>0，
∴无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）对于抛物线y=ax²-3ax-4a（a<0），
令y=0，ax²-3ax-4a=0，解得x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，y=-4a，
∴C（0，-4a），
由题意(1)/(2)•5•（-4a）=7.5，
∴a=-(3)/(4)，
∴此抛物线的解析式y=-(3)/(4)x²+(9)/(4)x+3．

（3）如图，假设存在，MD=3DP，设DP=m，则DM=3m，PM=2m．

∵PE=PF，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPD+∠FPM=90°，
∵∠EPD+∠PED=90°，
∴∠PED=∠FPM，∵∠EDP=∠PMF，
∴△EDP≌△PMF，
∴DE=PM=2m，易知NM=m，
∴D（(3)/(2)+m，3m），把点D（(3)/(2)+m，3m）代入y=-(3)/(4)x²+(9)/(4)x+3．
∴3m=-(3)/(4)（(3)/(2)+m）²+(9)/(4)（(3)/(2)+m）+3，
解得m=(-3+√(41))/(2)或(-3-√(41))/(2)（舍弃），
∴D（(√(41))/(2)，(-9+3√(41))/(2)）．