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如图,四边形ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB、AD于点F、E.(1)求证:DE=AF;(2)若⊙O的半径为32,AB=2+1,求AEED的值.
题目详情
如图,四边形ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB、AD于点F、E.
(1)求证:DE=AF;
(2)若⊙O的半径为
,AB=
+1,求
的值.
(1)求证:DE=AF;
(2)若⊙O的半径为
| ||
2 |
2 |
AE |
ED |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接EP、FP,如图,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=90°,∠BPA=90°
∴∠FPE=90°,
∴∠BPF=∠APE,
又∵∠FBP=∠PAE=45°,
∴△BPF≌△APE,
∴BF=AE,
而AB=AD,
∴DE=AF;
(2)连EF,
∵∠BAD=90°,
∴EF为⊙O的直径,
而⊙O的半径为
,
∴EF=
,
∴AF2+AE2=EF2=(
)2=3①,
而DE=AF,
DE2+AE2=3;
又∵AD=AE+ED=AB,
∴AE+ED=
+1②,
由①②联立起来组成方程组,解之得:AE=1,ED=
或AE=
,ED=1,
所以:
=
或
=
.
提示:(1)连接EF、EP、FP,可证明△AEP≌△BFP
(2)设:AE=x,ED=AF=y
可得:x+y=
+1和x2+y2=3,
解得x=
,y=1或x=1,y=
,
所以:
=
或
=
.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=90°,∠BPA=90°
∴∠FPE=90°,
∴∠BPF=∠APE,
又∵∠FBP=∠PAE=45°,
∴△BPF≌△APE,
∴BF=AE,
而AB=AD,
∴DE=AF;
(2)连EF,
∵∠BAD=90°,
∴EF为⊙O的直径,
而⊙O的半径为
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∴EF=
3 |
∴AF2+AE2=EF2=(
3 |
而DE=AF,
DE2+AE2=3;
又∵AD=AE+ED=AB,
∴AE+ED=
2 |
由①②联立起来组成方程组,解之得:AE=1,ED=
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所以:
AE |
ED |
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AE |
ED |
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提示:(1)连接EF、EP、FP,可证明△AEP≌△BFP
(2)设:AE=x,ED=AF=y
可得:x+y=
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解得x=
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所以:
AE |
ED |
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AE |
ED |
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