若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，23]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，0）B．（-∞，-2]C．[−136，+∞)D．[-2，+∞）

Question

若不等式x²+ax+1≥0对一切x∈(0，(2)/(3)]都成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，0）
B．（-∞，-2]
C．[−(13)/(6)，+∞)
D．[-2，+∞）

Answer 1

∵不等式x²+ax+1≥0对一切x∈(0，(2)/(3)]都成立，
∴函数f（x）=x²+ax+1在区间（0，(2)/(3)]上的最小值大于或等于0
而函数f（x）=x²+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线，
其对称轴为x=−(a)/(2)，下面分三种情况讨论函数的最小值
①当x=−(a)/(2)≤0时，即a≥0时，函数f（x）在区间（0，(2)/(3)]上为增函数
∴函数f（x）的最小值大于f（0）=1≥0，符合题意．此时a≥0；
②当x=−(a)/(2)∈（0，(2)/(3)]时，即-(4)/(3)≤a＜0时，
函数f（x）的最小值为f（−(a)/(2)）=1-(1)/(4)a2≥0，-2≤a≤2，
∴-(4)/(3)≤a＜0；
③当x=−(a)/(2)＞(2)/(3)时，即a≤-(4)/(3)时，函数f（x）在区间（0，(2)/(3)]上为减函数
∴函数f（x）的最小值f（(2)/(3)）=(2a)/(3)+(13)/(9)≥0，可得a≥-(13)/(6)
因此-(13)/(6)≤a≤-(4)/(3)．
综上所述，得实数a的取值范围是：a≥-(13)/(6)
故选C