已知点P的坐标是（√2+a,√2+b）其中ab都是有理数……………已知点P的坐标是（√2+a,√2+b）其中ab都是有理数PA,PB分别是点P到x轴y轴的垂线,且矩形OAPB的面积为√2,那么P可能出现的象限有几个

Question

已知点P的坐标是（√2+a,√2+b）其中ab都是有理数……………
已知点P的坐标是（√2+a,√2+b）其中ab都是有理数PA,PB分别是点P到x 轴y轴的垂线,且矩形OAPB的面积为√2,那么P可能出现的象限有几个
A1个 B2个 C3个 D4个

Answer 1

|√2+a||√2+b| = √2,两边平方去绝对值号,得
(2+√2a+a²)(2+√2b+b²)=2,化简整理即
[(ab+1)²+2(a+b)²+2ab+1] + (a+b)(ab+2)√2 = 0
因为a、b都是有理数,所以
(ab+1)²+2(a+b)²+2ab+1 = 0 ---- （1）
以及
(a+b)(ab+2) = 0 ----------------------- （2）
由（2）知,a+b=0 或者 ab+2=0.下面对两种情况分别讨论：
case 1.如果a+b=0,即b=-a,那么代入（1）并化简整理得
a^4-4a²+2=0
通过计算判别式可知,a没有有理数解.
case 2.如果ab+2=0,即ab=-2,那么代入（1）并化简整理得
(a+b)²=1.
将此式与ab=-2联立,解得(a,b)的取值为
(2,-1)或(-2,1)或(1,-2)或(-1,2)
因此P点可能出现在第一、二、四象限.答案选C.