已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直

Question

已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．

（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；
（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
∴∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，
在△ABM与△EFM中，

∠BAM=∠MEF

ABM=∠EFM

AM=EM

，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=MF，AB=EF，
∵AB=BC，
∴BC=EF，
过C作CN⊥AE于N，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
易得；∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DEF=∠4+∠MEF=∠2+∠3=∠BCD，
在△BCD与△FED中，

CD=DE

∠BCD=∠DEF

BC=EF

，
∴△BCD≌△FED，
∴BD=DF，∠5=∠6，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
同理易证：△ABM≌△EFM，
∴AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，
∵∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，
∴∠BCD=∠DEF=90°，
在△BCD与△FED中，

BC=EF

∠BCD=∠FED

CD=DE

，
∴△BCD≌△FED，
∴∠BDC=∠EDF，BD=DF，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM．