如图，A、B、C为⊙O上三点，∠BAC=120°，∠ABC=45°，M，N分别是BC，AC的中点，则OM：ON=．

Question

如图，A、B、C为⊙O上三点，∠BAC=120°，∠ABC=45°，M，N分别是BC，AC的中点，则OM：ON=______．

Answer 1

连结OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAC=120°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，
∴△OAC为等腰直角三角形，∠BOC=90°+30°=120°，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥AC，
在Rt△OCN中，ON=(√(2))/(2)OC=(√(2))/(2)R，
∵OC=OB，∠BOC=120°，
∴∠OCB=∠OBC=30°
在Rt△BOM中，OM=(1)/(2)OB=(1)/(2)R，
∴OM：ON=(1)/(2)R：(√(2))/(2)R=1：√(2)．
故答案为1：√(2)．