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在△ABC中,AB=25,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
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在△ABC中,AB=2
,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
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▼优质解答
答案和解析
∵AC=4,BC=2,AB=2
,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况:
如图(1),过点D作DE⊥CB,垂足为点E.
∵DE⊥CB(已知)
∴∠BED=∠ACB=90°(垂直的定义),
∴∠CAB+∠CBA=90°(直角三角形两锐角互余),
∵△ABD为等腰直角三角形(已知),
∴AB=BD,∠ABD=90°(等腰直角三角形的定义),
∴∠CBA+∠DBE=90°(平角的定义),
∴∠CAB=∠EBD(同角的余角相等),
在△ACB与△BED中,
∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD(已证),
∴△ACB≌△BED(AAS),
∴BE=AC=4,DE=CB=2(全等三角形对应边相等),
∴CE=6(等量代换)
根据勾股定理得:CD=2
;
如图(2),过点D作DE⊥CA,垂足为点E.
∵BC⊥CA(已知)
∴∠AED=∠ACB=90°(垂直的定义)
∴∠EAD+∠EDA=90°(直角三角形两锐角互余)
∵△ABD为等腰直角三角形(已知)
∴AB=AD,∠BAD=90°(等腰直角三角形的定义)
∴∠CAB+∠DAE=90°(平角的定义)
∴∠BAC=∠ADE(同角的余角相等)
在△ACB与△DEA中,
∵∠ACB=∠DEA(已证)∠CAB=∠EDA(已证) AB=DA(已证)
∴△ACB≌△DEA(AAS)
∴DE=AC=4,AE=BC=2(全等三角形对应边相等)
∴CE=6(等量代换)
根据勾股定理得:CD=2
;
如图(3),过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠EBD+∠DAF=90°,
∵∠EBD+∠BDE=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DBE=∠ADF,
∵∠BED=∠AFD=90°,DB=AD,
∴△AFD≌△DEB,
则ED=AF,
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°,
则四边形CEFA是矩形,
故CE=AF,EF=AC=4,
设DF=x,则BE=x,
故EC=2+x,AF=DE=EF-DF=4-x,
则2+x=4-x,
解得:x=1,
故EC=DE=3,
则CD=3
.
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∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况:
如图(1),过点D作DE⊥CB,垂足为点E.
∵DE⊥CB(已知)
∴∠BED=∠ACB=90°(垂直的定义),
∴∠CAB+∠CBA=90°(直角三角形两锐角互余),
∵△ABD为等腰直角三角形(已知),
∴AB=BD,∠ABD=90°(等腰直角三角形的定义),
∴∠CBA+∠DBE=90°(平角的定义),
∴∠CAB=∠EBD(同角的余角相等),
在△ACB与△BED中,
∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD(已证),
∴△ACB≌△BED(AAS),
∴BE=AC=4,DE=CB=2(全等三角形对应边相等),
∴CE=6(等量代换)
根据勾股定理得:CD=2
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如图(2),过点D作DE⊥CA,垂足为点E.
∵BC⊥CA(已知)
∴∠AED=∠ACB=90°(垂直的定义)
∴∠EAD+∠EDA=90°(直角三角形两锐角互余)
∵△ABD为等腰直角三角形(已知)
∴AB=AD,∠BAD=90°(等腰直角三角形的定义)
∴∠CAB+∠DAE=90°(平角的定义)
∴∠BAC=∠ADE(同角的余角相等)
在△ACB与△DEA中,
∵∠ACB=∠DEA(已证)∠CAB=∠EDA(已证) AB=DA(已证)
∴△ACB≌△DEA(AAS)
∴DE=AC=4,AE=BC=2(全等三角形对应边相等)
∴CE=6(等量代换)
根据勾股定理得:CD=2
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如图(3),过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠EBD+∠DAF=90°,
∵∠EBD+∠BDE=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DBE=∠ADF,
∵∠BED=∠AFD=90°,DB=AD,
∴△AFD≌△DEB,
则ED=AF,
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°,
则四边形CEFA是矩形,
故CE=AF,EF=AC=4,
设DF=x,则BE=x,
故EC=2+x,AF=DE=EF-DF=4-x,
则2+x=4-x,
解得:x=1,
故EC=DE=3,
则CD=3
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