设总体X的分布函数为F(x，θ)＝1−e−x2θ，x≥00，x＜0，其中θ为未知的大于零的参数，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，（1）求E（X），E（X2）；（2）求θ的极大似然估计量

Question

设总体X的分布函数为F(x，θ)＝

1−e−(x2)/(θ)，x≥0

  0，       x＜0

，其中θ为未知的大于零的参数，X₁，X₂，…，X_n是来自总体的简单随机样本，
（1）求E（X），E（X²）；
（2）求θ的极大似然估计量．
（3）是否存在常数a，使得对任意的ε＞0，都有

lim

n→∞

P{|

θn

-a|≥ɛ}=0．

Answer 1

【详解】（1）先求出总体X的概率密度函数
f(x，θ)＝

(2x)/(θ)e−(x2)/(θ)，x≥0

       0，   x＜0

，
EX＝

∫

+∞ 0

(2x2)/(θ)e−(x2)/(θ)dx＝−

∫

+∞ 0

xde−(x2)/(θ)＝−xe−(x2)/(θ)

|

+∞ 0

+

∫

+∞ 0

e−(x2)/(θ)dx＝√(πθ)，
EX2＝

∫

+∞ 0

(2x3)/(θ)e−(x2)/(θ)dx＝(1)/(θ)

∫

+∞ 0

x2e−(x2)/(θ)dx2＝

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（1）用随机变量函数的期望定义做；
（2）用极大似然估计法求；
（3）利用兴钦大数定律．

名师点评

本题考点：

辛钦大数定律；最大似然估计法．

考点点评：

本题考察随机变量函数的期望求法、极大似然估计法、兴钦大数定律，属于综合题．

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