计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2与z=1−x2−y2所围成的区域．

Question

计算三重积分

∫∫∫

Ω

(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=√(x2+y2)与z=√(1−x2−y2)所围成的区域．

Answer 1

∭

Ω

(x+z)dv=

∭

Ω

xdv+

∭

Ω

zdv，
因为Ω关于yOz平面对称，x是关于x的奇函数，
所以：

∭

Ω

xdv=0，
对于 

∭

Ω

zdv，利用柱坐标系将区域划为：
Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤(√(2))/(2)，r≤z≤√(1−r2)}，
从而：
 

∭

Ω

zdv=

∫

2π 0

dθ

∫	(√(2))/(2) 0

rdr

∫

√(1−r2) r

zdz=

∫

2π 0

dθ

∫	(√(2))/(2) 0

(1)/(2)r(1−2r2)dr=(π)/(8)，
故答案为：(π)/(8)．