已知lna-ln3=lnc，bd=-3，则（a-b）2+（d-c）2的最小值为（）A.3105B.185C.165D.125

Question

已知lna-ln3=lnc，bd=-3，则（a-b）²+（d-c）²的最小值为（　　）

A.

(3√(10))/(5)

B.

(18)/(5)

C.

(16)/(5)

D.

(12)/(5)

Answer 1

lna-ln3=lnc，化为ln(a)/(3)=lnc，即a=3c．bd=-3，
令y=3x，y=(-3)/(x)，则（a-b）²+（d-c）²表示直线y=f（x）=3x上的点与曲线y=g（x）=(-3)/(x)上的点的最小距离的平方．
设直线y=f（x）=3x+m与曲线y=g（x）=(-3)/(x)相切于点P（x₀，y₀）．不妨取（x₀>0）
g′（x）=(3)/(x2)，∴(3)/(x20)=3，解得x₀=1．
可得切点P（1，-3），∴-3=3+m，解得m=-6．
∴切点到直线y=3x的距离d=(|3-(-3)|)/(√(10))=(3√(10))/(5)．
∴（a-b）²+（d-c）²的最小值=((3√(10))/(5))2=(18)/(5)．
故选：B．