如图，已知抛物线C：y2=2px（p>0）和圆M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为174．（1）求抛物线C的方程；（2）若

Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p>0）和圆M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为(17)/(4)．

（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为4+(p)/(2)=(17)/(4)，
∴p=(1)/(2)，
∴抛物线C的方程为y²=x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵kMA=(y1)/(x1-4)，
∴kHA=(4-x1)/(y1)，
可得，直线HA的方程为（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理可得：直线HB的方程为（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴(4-x1)

y

2 0

-y1y0+4x1-15=0，(4-x2)

y

2 0

-y2y0+4x2-15=0，
∴直线AB的方程为(4-

y

2 0

)x-y0y+4

y

2 0

-15=0，
令x=0，可得t=4y0-(15)/(y0)(y0≥1)，
∵t关于y₀的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴t_min=-11．