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如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角
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如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△OCD是等边三角形,
∴OC=CD,
而△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∵∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
在△BOC与△ADC中,
∵
,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
而∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°-60°=90°,
∴△ADO是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,a+d=50°∠DAO=50°,
∴b-d=10°,
∴(60°-a)-d=10°,
∴a+d=50°,
即∠CAO=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°-α=50°,
∴α=140°.
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形.
∴OC=CD,
而△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∵∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
在△BOC与△ADC中,
∵
|
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
而∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°-60°=90°,
∴△ADO是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,a+d=50°∠DAO=50°,
∴b-d=10°,
∴(60°-a)-d=10°,
∴a+d=50°,
即∠CAO=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°-α=50°,
∴α=140°.
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形.
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