函数fx=ax³+3x²+3x（a≠0）⑴讨论fx单调性⑵若fx在区间（1,2）为增函数,求a取值范围

Question

函数fx=ax³+3x²+3x（a≠0）⑴讨论fx单调性⑵若fx在区间（1,2）为增函数,求a取值范围

Answer 1

f(x)=ax³+3x²+3x（a≠0）

f'(x)=3ax²+6x+3
Δ=6²-4*3a*3=36(1-a)
当 a>=1 时,Δ<=0,f'(x)=3ax²+6x+3>=0,f(x) 在整个实数范围单调递增,如下动画显示 a 从 1 到 2 时 f(x) 图像的变化动态

当 a<1 时,Δ>0,f'(x)=3ax²+6x+3 有两个不等实根 x=[-1±√(1-a)] /a
在 0f(x) 的递增区间是（-∞,[-1-√(1-a)]/a）∪（[-1+√(1-a)]/a,+∞）
f(x) 的递减区间是（[-1-√(1-a)]/a,[-1+√(1-a)]/a）
如下动画显示 a 从 0 到 1 时 f(x) 图像的变化动态

在 a<0 时
f(x) 的递增区间是（[-1+√(1-a)]/a,[-1-√(1-a)]/a）
f(x) 的递减区间是（-∞,[-1+√(1-a)]/a）∪（[-1-√(1-a)]/a,+∞）
如下动画显示 a 从 -1 到 0 时 f(x) 图像的变化动态



若f(x)=ax³+3x²+3x（a≠0）在区间（1,2）为增函数,则有f(1)a*1³+3*1²+3*1a>-12/7