在曲线y=x³(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴围成图形的面积为1/12,试求过切点A的切线方程

Question

在曲线y=x³(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴围成图形的面积为1/12,试求过切点A的切线方程

Answer 1

设切线方程y = kx + b
与y = x^3 切于A(x0,x0^3),k = 3x0^2,x0^3 = 3x0^2 * x0 + b,b = -2x0^2
y = 3x0^2 * x - 2x0^2,与x 轴交点B（2/3,0）
图形面积=（0-〉2/3）积分（x^3)dx + (2/3->x0) (x^3 - 3x0^2 x + 2x0^2) dx
= 1/4 (2/3)^4 + 1/4 (x0^4 - (2/3)^2) - 3/2 x0^2 (x0^2 - 4/9) + 2x0^2 (x0-2/3)
= - 5/4 x0^4 - 2/3 x0^2 + 2x0^3 = 1/12
x0~= 0.79085