感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．应用：如图③，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=

Question

感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
应用：如图③，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=a，求AB-AC的值（用含a的代数式表示）

Answer 1

探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DF=DE

，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DC=DB．
应用： 如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DC=DB

，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，

AD=AD

DE=DF

，
∴△RtADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=a，
∴∠BDE=30°，
∴BE=(1)/(2)BD=(1)/(2)a
∴AB-AC=2BE=a．