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数学高二几何如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面ABB1A1⊥平面CBB1C1,AB=BB1=BC=2,∠ABB1=∠CBB1=60º,棱AC的中点为D(1):求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值
题目详情
数学高二几何
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面ABB1A1⊥平面CBB1C1,AB=BB1=BC=2,∠ABB1=∠CBB1=60º,棱AC的中点为D (1):求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面ABB1A1⊥平面CBB1C1,AB=BB1=BC=2,∠ABB1=∠CBB1=60º,棱AC的中点为D (1):求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值
▼优质解答
答案和解析
在△ABB1中,∵AB=BB1=2,∠ABB1=60°
∴△ABB1是等边三角形,
∴AB1=2
同理△CBB1是等边三角形
取BB1的中点E,连接AE、CE,则AE⊥BB1,CE⊥BB1
∴∠AEC是二面角A-BB1-C的平面角
∵平面ABB1A1⊥平面CBB1C1,
∴∠AEC=90°
∵AE=CE=√(2^2-1^2)=√5
∴AC=√(AE^2+CE^2)=√10
连接DE,∵D是AC的中点
∴DE=CA/2=√10/2
∵AE⊥BB1,CE⊥BB1,AE∩CE=E
∴BB1⊥平面ACE
∴BB1⊥DE,
∵BB1//AA1
∴DE⊥AA1
∵DE⊥AC,AA1∩AC=A
∴DE⊥平面ACC1A1
∵BB1//平面ACC1A1
∴BB1与平面ACC1A1间的距离是DE=√10/2
作B1F⊥平面ACC1A1,F是垂足,连接AF,则∠B1AF是AB1与平面ACC1A1所成的角
∵BF=DE=√10/2,AB1=2
∴sin∠B1AF=BF/AB1=√10/4
∴△ABB1是等边三角形,
∴AB1=2
同理△CBB1是等边三角形
取BB1的中点E,连接AE、CE,则AE⊥BB1,CE⊥BB1
∴∠AEC是二面角A-BB1-C的平面角
∵平面ABB1A1⊥平面CBB1C1,
∴∠AEC=90°
∵AE=CE=√(2^2-1^2)=√5
∴AC=√(AE^2+CE^2)=√10
连接DE,∵D是AC的中点
∴DE=CA/2=√10/2
∵AE⊥BB1,CE⊥BB1,AE∩CE=E
∴BB1⊥平面ACE
∴BB1⊥DE,
∵BB1//AA1
∴DE⊥AA1
∵DE⊥AC,AA1∩AC=A
∴DE⊥平面ACC1A1
∵BB1//平面ACC1A1
∴BB1与平面ACC1A1间的距离是DE=√10/2
作B1F⊥平面ACC1A1,F是垂足,连接AF,则∠B1AF是AB1与平面ACC1A1所成的角
∵BF=DE=√10/2,AB1=2
∴sin∠B1AF=BF/AB1=√10/4
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