数学高二几何如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面ABB1A1⊥平面CBB1C1，AB=BB1=BC=2，∠ABB1=∠CBB1=60º，棱AC的中点为D（1）:求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值

Question

数学高二几何
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面ABB1A1⊥平面CBB1C1，AB=BB1=BC=2，∠ABB1=∠CBB1=60º，棱AC的中点为D （1）:求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值

Answer 1

在△ABB1中，∵AB=BB1=2，∠ABB1=60°
∴△ABB1是等边三角形，
∴AB1=2
同理△CBB1是等边三角形
取BB1的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BB1，CE⊥BB1
∴∠AEC是二面角A-BB1-C的平面角
∵平面ABB1A1⊥平面CBB1C1，
∴∠AEC=90°
∵AE=CE=√(2^2-1^2)=√5
∴AC=√(AE^2+CE^2)=√10
连接DE，∵D是AC的中点
∴DE=CA/2=√10/2
∵AE⊥BB1，CE⊥BB1，AE∩CE=E
∴BB1⊥平面ACE
∴BB1⊥DE，
∵BB1//AA1
∴DE⊥AA1
∵DE⊥AC，AA1∩AC=A
∴DE⊥平面ACC1A1
∵BB1//平面ACC1A1
∴BB1与平面ACC1A1间的距离是DE=√10/2
作B1F⊥平面ACC1A1，F是垂足，连接AF，则∠B1AF是AB1与平面ACC1A1所成的角
∵BF=DE=√10/2，AB1=2
∴sin∠B1AF=BF/AB1=√10/4