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设直线nx+(n+1)y=1(n为正整数)与两坐标轴围成的三角形面积Sn,n=1,2,…,2009,则S1+S2+.+2009=?
题目详情
设直线nx+(n+1)y=1 (n为正整数)与两坐标轴围成的三角形面积S n ,n=1,2,…,2009,则S1+S2+.+2009=?
▼优质解答
答案和解析
直线nx+(n+1)y=1
x=0时,y=1/(n+1)
y=0时,x=1/n
∴ Sn=(1/2)*(1/n)*[1/(n+1)]
=(1/2)*1/[n(n+1)]
=(1/2)*[1/n-1/(n+1)]
∴ S1+S2+.+2009
=(1/2)*[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/2009-1/2010]
=(1/2)(1-1/2010)
=(1/2)*(2009/2010)
=2009/4020
x=0时,y=1/(n+1)
y=0时,x=1/n
∴ Sn=(1/2)*(1/n)*[1/(n+1)]
=(1/2)*1/[n(n+1)]
=(1/2)*[1/n-1/(n+1)]
∴ S1+S2+.+2009
=(1/2)*[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/2009-1/2010]
=(1/2)(1-1/2010)
=(1/2)*(2009/2010)
=2009/4020
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