（2014•和平区一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=5，S14=196，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2n•an=2a，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

（2014•和平区一模）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n=2a，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，
∴S14＝(14(a1+a14))/(2)=7（a₃+a₁₂）=196，
解得a₁₂=23，
∴d=(a12−a3)/(12−3)=(23−5)/(9)=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵bn＝2nan=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn＝1•2+3•22+…+(2n−1)•2n，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-4-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2^n-2-2）-4-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，n∈N^*．