如图，一个质量为m=0.6kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以v0=203m/s水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行．已知圆弧管道口内径远

Question

如图，一个质量为m=0.6kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以v₀=(20)/(3)m/s水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行．已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径R，OP与竖直方向的夹角是θ=37°，平台到地面的高度差为h=1.45m．若小球运动到圆弧轨道最低点时的速度大小是v₁=10m/s．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）小球从A点运动到P点所需的时间t；
（2）P点距地面的高度△h和圆弧半径R；
（3）小球对圆弧轨道最低点的压力F_N大小；
（4）若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9N，求小球经过Q点时的速度v₂大小．

Answer 1

（1）对P点的速度矢量分解，有：tan37°=(vy)/(vx)=(gt)/(v0) 
代入数据得：t=0.5s
（2）竖直方向小球做自由落体运动，由：h1=(1)/(2)gt2=(1)/(2)×10×0．52=1.25m
由几何关系，P点高度：h₂=h-h₁=0.2m
有几何关系：(R-△h)/(R)=cos37°
代入数据得：R=1m
（3）在最低点，支持力与重力的和提供小球的向心力，得：FN1-mg=(mv21)/(R)
代入数据得：F_N1=66N
由牛顿第三定律得小球对圆弧轨道最低点的压力：F_N1′=F_N1=66N
（4）由FN2+mg=(mv22)/(R)
带入数据得：v₂=5m/s
答：（1）小球从A点运动到P点所需的时间是0.5s；
（2）P点距地面的高度△h是0.2m，圆弧半径是1m；
（3）小球对圆弧轨道最低点的压力F_N大小是66N；
（4）若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9N，小球经过Q点时的速度v₂大小是5m/s．