已知椭圆x29+y25=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，23)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于（）A.1134B.2134C.114D.214

Question

已知椭圆

(x2)/(9)+(y2)/(5)=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2√(3))，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于（　　）

A.

(11√(3))/(4)

B.

(21√(3))/(4)

C.

(11)/(4)

D.

(21)/(4)

Answer 1

椭圆(x2)/(9)+(y2)/(5)=1的a=3，b=√(5)，c=√(a2-b2)=2，
由题意，设F′是左焦点，
则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=4+6+|PA|-|PF′|
≤10+|AF′|（A，P，F′三点共线时，且P在AF′的延长线上，取等号），
直线AF′的方程为(x)/(-2)+(y)/(2√(3))=1与椭圆5x²+9y²=45，
联立可得32y²-20√(3)y-75=0，
解得P的纵坐标为-(5√(3))/(8)，
则△APF周长最大时，
该三角形的面积为(1)/(2)|FF′|•|y_A-y_P|
=2•|2√(3)+(5√(3))/(8)|=(21√(3))/(4)．
故选：B．