三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1=1，则三棱锥A1-ABC的体积为（）A.24B.26C.212D.218

Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁=1，则三棱锥A₁-ABC的体积为（　　）
A. (√(2))/(4)
B. (√(2))/(6)
C. (√(2))/(12)
D. (√(2))/(18)

Answer 1

∵在底面△ABC中∠BAC=90°，且AB=AC=1，
∴S_△ABC=(1)/(2)
令AA₁在底面△ABC上的投影交BC于D，则AD为∠BAC的角平分线
则AA₁与底面△ABC的夹角为∠A₁AD
由三余弦定理可得：cos∠A₁AC=cos∠A₁AD•cos∠DAC
即(1)/(2)=cos∠A₁AD•(√(2))/(2)
∴cos∠A₁AD=(√(2))/(2)
则sin∠A₁AD=(√(2))/(2)
又∵AA₁=1，
∴三棱锥A₁-ABC的高h=sin∠A₁AD•AA₁=(√(2))/(2)
故三棱锥A₁-ABC的体积V=(1)/(3)S_△ABC•h=(√(2))/(12)
故选C