（2014•开封二模）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD•AC=0．sin∠BAC=223，AB=32，BD=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．

Question

（2014•开封二模）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足

AD

•

AC

=0．sin∠BAC=(2√(2))/(3)，AB=3√(2)，BD=√(3)．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．

Answer 1

（Ⅰ）∵

AD

•

AC

=0，
∴AD⊥AC，
∴sin∠BAC＝sin((π)/(2)+∠BAD)＝cos∠BAD，
∵sin∠BAC=(2√(2))/(3)，
∴cos∠BAD＝(2√(2))/(3)…．（2分）
在△ABD中，由余弦定理可知BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，
即AD²-8AD+15=0，
解之得AD=5或AD=3 …．（6分）
由于AB＞AD，
∴AD=3…..（7分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知(BD)/(sin∠BAD)＝(AB)/(sin∠ADB)，
又由cos∠BAD＝(2√(2))/(3)，
可知sin∠BAD＝(1)/(3)，
∴sin∠ADB＝(ABsin∠BAD)/(BD)=(√(6))/(3)，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=(π)/(2)，
∴cosC＝(√(6))/(3)．…（12分）