已知椭圆x225+y29＝1，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设PA＝λ1AF，PB＝λ2BF，则λ1+λ2等于（）A．−925B．−509C．509D．925

Question

已知椭圆(x2)/(25)+(y2)/(9)＝1，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设

PA

＝λ1

AF

，

PB

＝λ2

BF

，则λ₁+λ₂等于（　　）

A．−(9)/(25)
B．−(50)/(9)
C．(50)/(9)
D．(9)/(25)

Answer 1

由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）
设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），得P点坐标（0，-4k），
因为

PA

＝λ1

AF

，所以（x₁，y₁+4k）=λ₁（4-x₁，-y₁）
因为

PB

＝λ2

BF

，所以（x₂，y₂+4k）=λ₂（4-x₂，-y₂）．
得λ₁=(x1)/(4−x1)，λ₂=(x2)/(4−x2)．
直线l方程，代入椭圆(x2)/(25)+(y2)/(9)＝1，消去y可得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0．
所以x₁+x₂=(200k2)/(9+25k2)，x₁x₂=(400k2−225)/(9+25k2)．
所以λ₁+λ₂=(x1)/(4−x1)+(x2)/(4−x2)=(4(x1+x2)−2x1x2)/(16−4(x1+x2)+x1x2)=(4•(200k2)/(9+25k2)−2•(400k2−225)/(9+25k2))/(16−4•(200k2)/(9+25k2)+(400k2−225)/(9+25k2))=−(50)/(9)
故选B．