已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是（）A.227πa2B.32227πa2C.32327πa3D.3239πa3

Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是（　　）

A.

(√(2))/(27)πa²

B.

(32√(2))/(27)πa²

C.

(32√(3))/(27)πa³

D.

(32√(3))/(9)πa³

Answer 1

由题意画出几何体的图形如图，
把三棱锥P-ABC扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
PA=2AB=2a，OE=a，△ABC是正三角形，∴AB=a，
∴AE=(2)/(3)√(a2-((a)/(2))2)=(√(3))/(3)a，
∴AO=√(AE2+OE2)=(2√(3))/(3)a，
∴V_球=(4)/(3)π•((2√(3))/(3))3=(32√(3))/(27)πa³，
故选：C．