已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，233为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于536π536π．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以顶点A为球心，(2√(3))/(3)为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于

(5√(3))/(6)π

(5√(3))/(6)π

．

Answer 1

如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE＝(2√(3))/(3)，AA₁=1，则∠A1AE＝(π)/(6)．同理∠BAF＝(π)/(6)，所以∠EAF＝(π)/(6)，故弧EF的长为(2√(3))/(3)•(π)/(6)＝(√(3))/(9)π，而这样的弧共有三条．在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为(√(3))/(3)，∠FBG＝(π)/(2)，所以弧FG的长为(√(3))/(3)•(π)/(2)＝

作业帮用户 2016-11-28

问题解析

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．

名师点评

本题考点：

弧长公式．

考点点评：

本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．

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