设双曲线x2a2−y2b2=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．233

Question

设双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为(√(3))/(4)c，则双曲线的离心率为（　　）

A．2
B．√(3)
C．√(2)
D．(2√(3))/(3)

Answer 1

∵直线l的方程为(x)/(a)+(y)/(b)＝1，c²=a²+b²∴原点到直线l的距离为(|−ab|)/(c)＝(√(3))/(4)c，
∴4ab＝√(3)c2，
∴16a²b²=3c⁴，
∴16a²（c²-a²）=3c⁴，∴16a²c²-16a⁴=3c⁴，
∴3e⁴-16e²+16=0，
解得e＝(2√(3))/(3)或e=2.0＜a＜b，∴e=2．
故选A．