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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a.(1)求角C;(2)若△ABC的中线CD的长为1,求△ABC的面积的最大值.
题目详情
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
=
a.
(1)求角C;
(2)若△ABC的中线CD的长为1,求△ABC的面积的最大值.
asinA+bsinB-csinC |
sinBsinC |
2
| ||
3 |
(1)求角C;
(2)若△ABC的中线CD的长为1,求△ABC的面积的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵
=
a,
由正弦定理化简:
=
a
由余弦定理得:cosC=
=
sinC,
即tanC=
,
∵0<C<π.
∴C=
.
(2)由三角形中线长定理得:2(a2+b2)=22+c2=4+c2,
由三角形余弦定理得:c2=a2+b2-ab,
消去c2得:4-ab=a2+b2≥2ab,ab≤
(当且仅当a=b时,等号成立),
即S△ABC=
absinC≤
×
×
=
.
asinA+bsinB-csinC |
sinBsinC |
2
| ||
3 |
由正弦定理化简:
a2+b2-c2 |
bsinC |
2
| ||
3 |
由余弦定理得:cosC=
a2+b2-c2 |
2ab |
| ||
3 |
即tanC=
3 |
∵0<C<π.
∴C=
π |
3 |
(2)由三角形中线长定理得:2(a2+b2)=22+c2=4+c2,
由三角形余弦定理得:c2=a2+b2-ab,
消去c2得:4-ab=a2+b2≥2ab,ab≤
4 |
3 |
即S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
| ||
2 |
| ||
3 |
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