在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，(asinA+bsinB-csinC)/(sinBsinC)=(2√(3))/(3)a．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）∵(asinA+bsinB-csinC)/(sinBsinC)=(2√(3))/(3)a，
由正弦定理化简：(a2+b2-c2)/(bsinC)=(2√(3))/(3)a
由余弦定理得：cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(√(3))/(3)sinC，
即tanC=√(3)，
∵0<C<π．
∴C=(π)/(3)．
（2）由三角形中线长定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：4-ab=a2+b2≥2ab，ab≤(4)/(3)（当且仅当a=b时，等号成立），
即S△ABC=(1)/(2)absinC≤(1)/(2)×(4)/(3)×(√(3))/(2)=(√(3))/(3)．