（2014•阳泉二模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为（）A．2B．233C

Question

（2014•阳泉二模）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则(|MN|)/(|AB|)的最大值为（　　）

A．2
B．(2√(3))/(3)
C．1
D．(√(3))/(3)

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（(a+b)/(2)）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-(1)/(4)（a+b）²=(3)/(4)（a+b）²
得到|AB|≥(√(3))/(2)（a+b）．
所以(|MN|)/(|AB|)≤((1)/(2)(a+b))/((√(3))/(2)(a+b))＝(√(3))/(3)，
即(|MN|)/(|AB|)的最大值为(√(3))/(3)．
故选：D