已知点P（4，2）是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，（1）求直线l的方程（2）求直线l被椭圆截得的弦长．

Question

已知点P（4，2）是直线l被椭圆(x2)/(36)+(y2)/(9)=1所截得的线段的中点，
（1）求直线l的方程
（2）求直线l被椭圆截得的弦长．

Answer 1

（1）设直线l的方程为：y-2=k（x-4），交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2-4k

x2+4y2=36

，化为：（1+4k²）x²+8k（2-4k）x+4（2-4k）²-36=0．（*）
∴x₁+x₂=-(8k(2-4k))/(1+4k2)=8，解得k=-(1)/(2)
∴直线l的方程为：x+2y-8=0．
（2）把k=-(1)/(2)代入方程（*）可得：x²-8x+14=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=14．
∴|AB|=√((1+(1)/(4))[(x1+x2)2-4x1x2])=√((5)/(4)×(82-4×14))=√(10)．