（2013•牡丹江一模）在球O内任取一点P，则P点在球O的内接正四面体中的概率是（）A．112πB．312πC．239πD．36π

Question

（2013•牡丹江一模）在球O内任取一点P，则P点在球O的内接正四面体中的概率是（　　）

A．(1)/(12π)
B．(√(3))/(12π)
C．(2√(3))/(9π)
D．(√(3))/(6π)

Answer 1

设球的半径为R，则球O的内接正方体的体对角线为2R，
设内接正方体的边长为a，体对角线长为 √(3)a，可知正方体的体对角线为2，
则正方体的边长为 (2R)/(√(3))，
又球O的内接正四面体可看成球O的内接正方体中四条面对角线构成的正四面体，
∴球O的内接正四面体的体积是正方体体积的(1)/(3)，即为：(1)/(3)×((2R)/(√(3)))3，
又球的体积为 (4πR3)/(3)，
∴在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正四面体中的概率是 (((2R)/(√(3)))3)/((4πR3)/(3))=(2√(3))/(9π)．
故选C．