设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当x＝−33时，f（x）取得极小值−239．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程−13f′(x)−nx+4n+13＝0仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f

Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且当x＝−(√(3))/(3)时，f（x）取得极小值−(2√(3))/(9)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求使得方程−(1)/(3)f′(x)−nx+4n+(1)/(3)＝0仅有整数根的所有正实数n的值；
（3）设g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）
又由f′(−(√(3))/(3))＝0及f(−(√(3))/(3))＝−(2√(3))/(9)，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x³+x．…（4分）
当x＜−(√(3))/(3)时，f'（x）＜0，
当−(√(3))/(3)＜x＜(√(3))/(3)时f'（x）＞0，
∴f（x）在x＝−(√(3))/(3)时取得极小值，
∴f（x）=-x³+x为所求．…（5分）
（2）方程−(1)/(3)f′(x)−nx+4n+(1)/(3)＝0，
化简得：x²-nx+4n=0，
因为方程仅有整数解，故n为整数，
又由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又n＝(x2)/(x−4)＝(x−4)+(16)/((x−4))+8，
故x-4为16的正约数，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因为g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
记h（x）=x³-3tx，∵h'（x）=3x²-3t=3（x²-t），
①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0时，由h'（x）=0得，x＝√(t)，和x＝−√(t)，
i．当√(t)≥1即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．当√(t)＜1即0＜t＜1时，h（x）在(0，√(t))单调减，(√(t)，1)单调增，
（Ⅰ）当√(t)＜1≤2√(t)，即(1)/(4)≤t＜1时，|h(√(t))|＞|h(1)|，∴F(t)＝−h(√(t))＝2t√(t)，
（Ⅱ）当2√(t)＜1，即0＜t＜(1)/(4)时，h(1)＞2t√(t)，∴F（t）=h（1）=1-3t，
综上可知，F(t)＝

1−3t，t＜(1)/(4)

2t√(t)，(1)/(4)≤t＜1

3t−1，t≥1

．…（16分）