如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=-12时，y取最大值254．（1）求抛物线

Question

如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=-x ² +bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=- (1)/(2) 时，y取最大值 (25)/(4) ．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S _△ABP ：S _△BPC =1：3，求点P的坐标；
（3）直线y= (1)/(2) x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），则M、N两点之间的距离为|MN|=

( x 2 - x 1 ) 2 +( y 2 - y 1 ) 2

）

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x ² +bx+c，当x=- (1)/(2) 时，y取最大值 (25)/(4) ，
∴抛物线的解析式是：y=-（x+ (1)/(2) ） ² + (25)/(4) ，即y=-x ² -x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），
当y=0时，-x ² -x+6=0，解得：x=2或-3，
即A点坐标是（-3，0），B点坐标是（2，0）．
将A（-3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，
得

-3k+m=0

m=6

，
解得：

k=2

m=6

，
则直线的解析式是：y=2x+6；

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S _△ABP ：S _△BPC =1：3，
∴ ((1)/(2)AP•BD)/((1)/(2)PC•BD) = (1)/(3) ，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC=

O A 2 +O C 2

=3

5

．
①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH ∥ OC，
∴ (PH)/(OC) = (AP)/(AC) = (1)/(4) ，
∴PH= (3)/(2) ，
∴ (3)/(2) =2x+6，
∴x=- (9)/(4) ，
∴点P（- (9)/(4) ， (3)/(2) ）；
② 当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG ∥ OC，
∴ (PG)/(OC) = (AP)/(AC) = (1)/(2) ，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=- (9)/(2) ，
∴点P（- (9)/(2) ，-3）．
综上所述，点P的坐标为（- (9)/(4) ， (3)/(2) ）或（- (9)/(2) ，-3）．

（3）设直线y= (1)/(2) x+a与抛物线y=-x ² -x+6的交点为M（x _M ，y _M ），N（x _N ，y _N ）（M在N左侧）．
则

x 1 = x M

y 1 = y N

，

x 2 = x N

y 2 = y N

为方程组

y=(1)/(2) x+a

y=- x 2 -x+6

的解，
由方程组消去y整理，得：x ² + (3)/(2) x+a-6=0，
∴x _M 、x _N 是方程x ² + (3)/(2) x+a-6=0的两个根，
∴x _M +x _N =- (3)/(2) ，x _M •x _N =a-6，
∴y _M •y _N =（ (1)/(2) x _M +a）（ (1)/(2) x _N +a）= (1)/(4) x _M •x _N + (a)/(2) （x _M +x _N ）+a ² = (1)/(4) （a-6）- (3)/(4) a+a ² ．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM ² +ON ² =MN ² ，即

x

2M

+

y

2M

+

x

2N

+

y

2N

=（x _M -x _N ） ² +（y _M -y _N ） ² ，
化简得x _M •x _N +y _M •y _N =0，
∴（a-6）+ (1)/(4) （a-6）- (3)/(4) a+a ² =0，
整理，得2a ² +a-15=0，
解得a ₁ =-3，a ₂ = (5)/(2) ，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a= (5)/(2) ；
②∵∠MON＞90°，
∴OM ² +ON ² ＜MN ² ，即

x

2M

+

y

2M

+

x

2N

+

y

2N

＜（x _M -x _N ） ² +（y _M -y _N ） ² ，
化简得x _M •x _N +y _M •y _N ＜0，
∴（a-6）+ (1)/(4) （a-6）- (3)/(4) a+a ² ＜0，
整理，得2a ² +a-15＜0，
解得-3＜a＜ (5)/(2) ，
∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是-3＜a＜ (5)/(2) ．