已知由实数组成的等比数列{an}的前项和为Sn，且满足8a4=a7，S7=254．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对n∈N*，bn=2n+1(log2an)2•(log2an+1)2，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知由实数组成的等比数列{a_n}的前项和为S_n，且满足8a₄=a₇，S₇=254．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，b_n=(2n+1)/((log2an)2•(log2an+1)2)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由8a₄=a₇，可得8=(a7)/(a4)=q³，解得q=2．
∵S₇=254，∴(a1(27-1))/(2-1)=254，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=(2n+1)/((log2an)2•(log2an+1)2)=(2n+1)/(n2(n+1)2)=(1)/(n2)-(1)/((n+1)2)，
∴T_n=(1-(1)/(22))+((1)/(22)-(1)/(32))+…+((1)/(n2)-(1)/((n+1)2))=1-(1)/((n+1)2)．