数量场u=x2-2yz+y2在点M（-1，2，1）沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值．

Question

数量场u=x²-2yz+y²在点M（-1，2，1）沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值．

Answer 1

由于u=x²-2yz+y²在点M（-1，2，1）的三个一阶偏导数分别为：
(∂u)/(∂x)=-2，(∂u)/(∂y)=-2，(∂u)/(∂z)=-4
∴数量场u=x²-2yz+y²在点M（-1，2，1）处的方向导数为：
(∂u)/(∂n)=-2cosα-2cosβ-4cosγ=gradu(-1，2，1)•

n

其中

n

={cosα，cosβ，cosγ}是在点M（-1，2，1）处的单位向量
∴要使得方向导数取到最大，则

n

与grad u（-1，2，1）同方向
即与（-2，-2，-4）同方向
此时，方向导数为|grad u（-1，2，1）|=|（-2，-2，-4）|=2√(6)