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(2008•莆田)阅读理解析如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.(1)模型探究:如图2,在四
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(2008•莆田)阅读理【解析】
如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
(i)当∠APD=60°时,求点P的坐标;
(ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343f5fbfd919613b07eca80884d.jpg)
如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
(i)当∠APD=60°时,求点P的坐标;
(ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343f5fbfd919613b07eca80884d.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)本题要通过证△ABP和△PCD相似来解.已知∠B=∠APD=∠C,那么可得出它们的补角都相等,进而可求出∠BAP=∠DPC,∠BPA=∠PDC.由此可证得两三角形相似,即可得出所求的结论.
(2)①当∠APD=60°,符合了(1)题的条件,因此(1)的结论在本题适用,可据此求出BP的长,然后在直角三角形ABO中求出OB的长,由此可得出P点的坐标.
②本题要通过相似三角形进行求解.过D作DM⊥BC于M,可分两种情况进行讨论:
(一):当P在OM上时,PM=OM-OP=5-x,可证△OPE∽△MDP,从而得出y与x的函数关系式;
(二):当P在CM上时,PM=OP-OM=x-5,同样可证△OPE∽△MDP,从而得出y与x的函数关系式.
(1)证明:∵∠B=∠C=∠APD,
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD,
∴∠BAP=∠DPC,
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
∴BP:CD=AB:PC,
∴BP•PC=AB•CD.
(2)【解析】
①∵∠B=∠C=∠APD=60°,
由(1)知,BP•PC=AB•CD.
∵AB=4,BC=10,CD=6,
设BP=x,则PC=BC-BP=10-x,
∴x(10-x)=4×6,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x=4或6,
即BP=4或6.
在直角△AOP中,∠AOP=90°,∠B=60°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34408bfd37d5a20cf431ad854d.jpg)
∴BO=AB•cos60°=2,
∴OP=BP-BO=2或4.
∴点P的坐标为(2,0)或(4,0);
②过点D作DM⊥BC,则CM=3,DM=3
,
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5.
第一种情况:当点P在线段OM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3
=y:(5-x),
∴y=-
x2+
x(0<x≤5);
第二种情况:当点P在线段CM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3
=y:(x-5),
∴y=
x2-
x(5<x<8).
(2)①当∠APD=60°,符合了(1)题的条件,因此(1)的结论在本题适用,可据此求出BP的长,然后在直角三角形ABO中求出OB的长,由此可得出P点的坐标.
②本题要通过相似三角形进行求解.过D作DM⊥BC于M,可分两种情况进行讨论:
(一):当P在OM上时,PM=OM-OP=5-x,可证△OPE∽△MDP,从而得出y与x的函数关系式;
(二):当P在CM上时,PM=OP-OM=x-5,同样可证△OPE∽△MDP,从而得出y与x的函数关系式.
(1)证明:∵∠B=∠C=∠APD,
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD,
∴∠BAP=∠DPC,
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
∴BP:CD=AB:PC,
∴BP•PC=AB•CD.
(2)【解析】
①∵∠B=∠C=∠APD=60°,
由(1)知,BP•PC=AB•CD.
∵AB=4,BC=10,CD=6,
设BP=x,则PC=BC-BP=10-x,
∴x(10-x)=4×6,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x=4或6,
即BP=4或6.
在直角△AOP中,∠AOP=90°,∠B=60°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34408bfd37d5a20cf431ad854d.jpg)
∴BO=AB•cos60°=2,
∴OP=BP-BO=2或4.
∴点P的坐标为(2,0)或(4,0);
②过点D作DM⊥BC,则CM=3,DM=3
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2edd80c53359881001e93901934d.jpg)
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5.
第一种情况:当点P在线段OM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a2cc7cd98d1001e91e086ebfbd0e7bec54e7974d.jpg)
∴y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d058ccbf6c81800a413af2beb43533fa838b47a6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb1356818cc0ba31ea8d3fc1f44a6.jpg)
第二种情况:当点P在线段CM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d4628535e5dde711a5e63946a2efce1b9d16614d.jpg)
∴y=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/94cad1c8a786c91717dc2989cc3d70cf3ac757a6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cc11728b4710b912bd1e8d4ec6fdfc03934522a6.jpg)
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