用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,…,an,从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q,则an等于多少如果这个常数q不等于1,那么a1+a2+a3+…+an等于多少（用含a1,q,n的代式表示,并写出分析过

Question

用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,…,an,从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q,则an等于多少
如果这个常数q不等于1,那么a1+a2+a3+…+an等于多少（用含a1,q,n的代式表示,并写出分析过程

Answer 1

a(n+1)/a(n) = q
a(n+1)=qa(n).
a(2)=qa(1),
a(3)=qa(2)=q^2a(1),
a(4)=qa(3)=q^3a(1),
...
a(n)=q^(n-1)a(1),

用归纳法可证, a(n) = a(1)q^(n-1)成立.
a(1)=a(1), n=1时,结论成立.
设n=k时,有a(k)=a(1)q^(k-1),
则 n=k+1时,a(k+1)=qa(k)=a(1)q^(k-1+1)=a(1)q^(k+1-1),结论也成立.
因此,由归纳法知,a(n)=a(1)q^(n-1).

q不等于1时,
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=a(1)[1+q+...+q^(n-1)],
qs(n) = a(1)[q+q^2+...+q^(n-1)+q^n],
(q-1)s(n)=qs(n)-s(n)=a(1)[q^n - 1],
s(n)=a(1)[q^n-1]/(q-1)