如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若平面AMN⊥平面PBC，则平面AMN与平面ABC成二面角（锐角）的余弦值等于（）A.306B.216C.66D.36

Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若平面AMN⊥平面PBC，则平面AMN与平面ABC成二面角（锐角）的余弦值等于（　　）

A.

(√(30))/(6)

B.

(√(21))/(6)

C.

(√(6))/(6)

D.

(√(3))/(6)

Answer 1

如图，∵三棱锥P-ABC为正三棱锥，
∴PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，
过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，
设PA=PB=PC=a，∵M、N为PB、PC中点，
∴MN∥BC，∵PE⊥MN，∴PF⊥BC，
又PB=PC，∴E、F分别为MN、BC中点，
∵AM=AN，∴AE⊥MN，
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，
∴∠AEP=90°，∵E为PF中点，∴AE为PF中垂线，
∴AF=PA=a，∴AB=BC=AC=(2√(3))/(3)a，
∴CF=(BC)/(2)=(√(3)a)/(3)，
在Rt△PFC中，由勾股定理得到PF=(√(6))/(3)a，
由题意得O为底面△ABC的重心，∴OF=(1)/(3)AF=(a)/(3)，
∴侧面与底面所成的二面角的余弦值为：
cos∠PFO=(FO)/(PF)=((a)/(3))/((√(6))/(3)a)=(√(6))/(6)．
故选：C．