如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,底面△ABC是正三角形,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若平面AMN⊥平面PBC,则平面AMN与平面ABC成二面角(锐角)的余弦值等于()A.306B.216C.66D.36
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,底面△ABC是正三角形,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若平面AMN⊥平面PBC,则平面AMN与平面ABC成二面角(锐角)的余弦值等于( )
A. 30 6
B. 21 6
C. 6 6
D. 3 6
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_d38e5e13f278e08d38af3fe821b54b6f.jpg)
∴PA=PB=PC,且△ABC为正三角形,
过顶点P作MN的垂线,垂足为E,延长PE交BC于F,连接AF,过点P作底面ABC的垂线,垂足为O,
设PA=PB=PC=a,∵M、N为PB、PC中点,
∴MN∥BC,∵PE⊥MN,∴PF⊥BC,
又PB=PC,∴E、F分别为MN、BC中点,
∵AM=AN,∴AE⊥MN,
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角,
∴∠AEP=90°,∵E为PF中点,∴AE为PF中垂线,
∴AF=PA=a,∴AB=BC=AC=
2
| ||
3 |
∴CF=
BC |
2 |
| ||
3 |
在Rt△PFC中,由勾股定理得到PF=
| ||
3 |
由题意得O为底面△ABC的重心,∴OF=
1 |
3 |
a |
3 |
∴侧面与底面所成的二面角的余弦值为:
cos∠PFO=
FO |
PF |
| ||||
|
| ||
6 |
故选:C.
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