证明(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2

Question

证明(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2

Answer 1

∵(1+x)n(1+x)n＝(1+x)2n,比较两边x^n的系数.
左边展开式中x^n的系数为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
右边展开式中x^n的系数为：C2nN
－（此处应为x^n而非原来的x^2n）
从而：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2＝C2nN=(2n)!/n!^2
这个题的解题思路是先将左边两个n次因子分别计算出来（其实两个n次因子是一样的,都是（1+x)＾n）,再将两个n次n+1项多项式相乘,其中能产生x^n的项共有n+1项,它们的系数之和即为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
而右边x^n项的系数直接按多项式高次展开式公式进行计算,即为：C2nN
两边是相等的,所以它们的对应项也应该是相等的,则对应项的系数也是相等的,上面的x^n项的系数也应该是相等的,所以：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
＝C2nN
＝（2n)!/n!^2
即
(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2