（2013•黄埔区一模）如图，Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点B、C的坐标分别为（3，0），（1，4）．（1）写出点E的坐标，并利用尺规作图直接在图中作出旋

Question

（2013•黄埔区一模）如图，Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点B、C的坐标分别为（3，0），（1，4）．
（1）写出点E的坐标，并利用尺规作图直接在图中作出旋转中心Q（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求直线AE对应的函数关系式；
（3）将△ADE沿垂直于x轴的线段PT折叠，（点T在x轴上，点P在AE上，P与A、E不重合）如图，使点A落在x轴上，点A的对应点为点F．设点T的坐标为（x，0），△PTF与△ADE重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
③是否存在这样的点T，使得△PEF为直角三角形？若存在，直接写出点T的坐标；若不存在，请说有理由．

Answer 1

（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E点坐标为（5，2）．
连接BE，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；                

（2）设直线AE对应的函数关系式为y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴

k+b=0

5k+b=2

，解得

k=(1)/(2)

b=-(1)/(2)

，
∴直线AE对应的函数关系式为y=(1)/(2)x-(1)/(2)；

（3）①分两种情况：
（i）当点F在AD之间时，重叠部分是△PTF，如图．
∵点P在AE：y=(1)/(2)x-(1)/(2)上，PT⊥x轴，点T的坐标为（x，0），
∴PT=(1)/(2)x-(1)/(2)．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S_△PTF=(1)/(2)TF•PT=(1)/(2)AT•PT=(1)/(2)（x-1）•（(1)/(2)x-(1)/(2)）=(1)/(4)（x-1）²，
∴S=(1)/(4)x²-(1)/(2)x+(1)/(4)．
∵当F与D重合时，AT=(1)/(2)AD=2，
∴1＜x≤3；
（ii）当点F在点D的右边时，重叠部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴(HD)/(DF)=(ED)/(AD)=(1)/(2)，
∴HD=(1)/(2)DF=(1)/(2)[2（x-1）-4]=x-3，
∴S_梯形PTDH=(1)/(2)（PT+HD）•TD=(1)/(2)（(1)/(2)x-(1)/(2)+x-3）•（5-x）=-(3)/(4)x²+(11)/(2)x-(35)/(4)，
当T与D重合时，点F的坐标是（9，0），
∴3＜x＜5．
综上所述，S=

(1)/(4)x2-(1)/(2)x+(1)/(4) (0＜x≤3)

-(3)/(4)x2+(11)/(2)x-(35)/(4) (3＜x＜5)

；

②（i）当1＜x≤3时，∵S=(1)/(4)（x-1）²，
∴S随x的增大而增大，
∴当x=3时，S有取大值，且最大值是S=(1)/(4)（3-1）²=1；
（ii）当3＜x＜5时，∵S=-(3)/(4)x²+(11)/(2)x-(35)/(4)=-(3)/(4)（x-(11)/(3)）²+(4)/(3)，
∴当x=(11)/(3)时，S有最大值，且最大值是(4)/(3)；
综上所述，当x=(11)/(3)时，S有最大值，且最大值是S=(4)/(3)；

③存在这样的点T（(7)/(2)，0）和（(5)/(2)，0），能够使得△PEF为直角三角形．
分两种情况：
（i）当△PFE以点E为直角顶点时，如图，作EF⊥AE交x轴于F．
∵△AED∽△EFD，
∴(DF)/(ED)=(ED)/(AD)=(1)/(2)，
∴DF=(1)/(2)DE=1，
∴点F（6，0），
∴点T（(7)/(2)，0）；
（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，如图．
∵△AED∽△EF′D，
∴(DF′)/(DE)=(DE)/(AD)=(1)/(2)，
∴DF′=(1)/(2)DE=1，
∴点F′（4，0），
∴点T（(5)/(2)，0）．
综上（i）、（ii）知，满足条件的点T坐标为（(7)/(2)，0）和（(5)/(2)，0）．