求助：矩阵和的n次方解法比如（3E+B）^n=(3E)^n+n*(3E)^(n-1)*B（E+B）^n=E^n+n*E^(n-1)*B+n(n-1)/2*E^(n-2)*B^2我怎么觉得只是乘以个3就差距这么大呢？这个和的N次方有一定的公式吗？比

Question

求助：矩阵和的n次方解法比如（3E+B）^n = (3E)^n + n * (3E)^(n-1) * B （E+B）^n = E^n + n * E^(n-1) * B + n(n-1)/2 * E^(n-2) * B^2 我怎么觉得只是乘以个3就差距这么大呢？ 这个和的N次方有一定的公式吗？比如（A+B）的n次方？ 谢谢！！

Answer 1

你给的例子是有条件的, 第1个有B^2=0, 第2个是B^3=0 一般情况下, 当A,B可交换时,即AB=BA时 (A+B)^n = C(n,0)A^n+C(n,1)A^(n-1)B+C(n,2)A^(n-2)B^2+...+C(n,n)B^n 也就是说, 当A,B可交换时 (A+B)^n 可用二项式公式展开 你给的例子中 3E 和 E 都可与B交换, 所以可以用二项式展开. 在求矩阵的n次方的时候, 这是一种解决方法 这样处理的前提是: 1.和号的两项可交换 2.其中一项的n次幂容易计算 3.另一项的低次幂等于0矩阵 满足这几个条件后,就能用二项式公式展开 (1保证), 且展开后非零项很少(3) 且容易计算(2). 例如: 求C的n次幂 C= 2 4 0 2 = 2E+B 其中B = 0 4 0 0 因为(2E)B = B(2E), B^2=0 --可交换, 低次幂为0 所以C^n = (2E+B)^n = (2E)^n+n(2E)^(n-1)B = 2^nE+n2^(n-1)B = 2^n 2n2^n 0 2^n