求函数值一个98次的多项式f(x),满足f(k)=1/k(k=1,2...99),求f(100)

Question

求函数值
一个98次的多项式f(x),满足f(k)=1/k(k=1,2...99),求f(100)

Answer 1

不妨设g(x)=xf(x)−1.
易知g(x)=0 的根为 1,2,3,⋯,99.
因此g(x)=c(x−1)(x−2)(x−3)⋯(x−99),
由 g(0)=-1,可得c=1/99!.
所以g(x)=(x−1)(x−2)(x−3)⋯(x−99)/99!.
所以当x=100时,
100f(100)−1=(100−1)(100−2)(100−3)⋯(100−99)/99!
故f(100)=1/50.