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在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)求线段CD的长;(2)若E为边OA上的一个动点,求△CDE周长的最小值;
题目详情
在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(1)求线段CD的长;
(2)若E为边OA上的一个动点,求△CDE周长的最小值;
(3)若E、F为线段边OA上的两个动点(点E在点F左边),且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
(1)求线段CD的长;
(2)若E为边OA上的一个动点,求△CDE周长的最小值;
(3)若E、F为线段边OA上的两个动点(点E在点F左边),且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵矩形OACB,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,
∴BC=OA=3,BD=
OB=2,
∴CD=
=
;(3分)
(2)如图,作点D关于x轴的对称点D′(0,-2),(4分)
连接CD′与x轴交于点E,连接DE,
∴DE+CE=CD′(最小值),
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D′O=DO=2,D′B=6,
∴D′C=
=3
,(6分)
∴△CDE周长的最小值为:CD+DE+CE=CD+D′C=
+3
;(7分)
(3)如图,作点D关于x轴的对称点D′,在CB边上截取CG=2,
连接D′G与x轴交于点E,在EA上截EF=2,(8分)
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF,
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小,(9分)
∵OE∥BC,
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG,有
=
,
∴OE=
=
=
=
∴BC=OA=3,BD=
1 |
2 |
∴CD=
22+32 |
13 |
(2)如图,作点D关于x轴的对称点D′(0,-2),(4分)
连接CD′与x轴交于点E,连接DE,
∴DE+CE=CD′(最小值),
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D′O=DO=2,D′B=6,
∴D′C=
62+32 |
5 |
∴△CDE周长的最小值为:CD+DE+CE=CD+D′C=
13 |
5 |
(3)如图,作点D关于x轴的对称点D′,在CB边上截取CG=2,
连接D′G与x轴交于点E,在EA上截EF=2,(8分)
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF,
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小,(9分)
∵OE∥BC,
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG,有
OE |
BG |
D′O |
D′B |
∴OE=
D′O•BG |
D′B |
D′O•(BC−CG) |
D′B |
2×1 |
6 |
1 |
3 | <
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