如图，△ABC的面积为1，分别取AC和BC边的中点A1，B1，则四边形ABA1B1的面积为34，A2，B2再分别取A1C，B1C的中点，A2C，B2C的A3，B3中点，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出34+342+343+…

Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC和BC边的中点A₁，B₁，则四边形ABA₁B₁的面积为(3)/(4)，A₂，B₂再分别取A₁C，B₁C的中点，A₂C，B₂C的A₃，B₃中点，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出 (3)/(4)+(3)/(42)+(3)/(43)+…+(3)/(4n)=

1-(1)/(4n)

1-(1)/(4n)

．

Answer 1

∵A₁、B₁分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A₁B₁C的面积为1×(1)/(4)=(1)/(4)，
∴四边形A₁ABB₁的面积=△ABC的面积-△A₁B₁C的面积=(3)/(4)=1-(1)/(4)，
∴四边形A₂A₁B₁B₂的面积=△A₁B₁C的面积-△A₂B₂C的面积=(1)/(4)-(1)/(42)=(3)/(16)=(3)/(42)，
…，
∴第n个四边形的面积=(1)/(4n−1)-(1)/(4n)=(3)/(4n)，
∴(3)/(4)+(3)/(42)+(3)/(43)+…+(3)/(4n)
=（1-(1)/(4)）+（(1)/(4)-(1)/(42)）+…+（(1)/(4n−1)-(1)/(4n)）
=1-(1)/(4n)．
故故答案为：1-(1)/(4n)．